La transformada de LAPLACE

La transformada de LAPLACE 

Pierre Simón Marquéz de Laplace matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal.

 Definición

El método de la transformada de Laplace es un método operativo que aporta muchas ventajas cuando se usa para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Mediante el uso de la transformada de Laplace, es posible convertir muchas funciones comunes, tales como las funciones senoidales, las funciones senoidales amortiguadas y las funciones exponenciales, en funciones algebraicas de una variable S compleja.

Es una transformada integral, convierte una función de variable real t (tiempo) a una complejas. Su aplicación en la ciencia e ingeniería es muy variada, es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. Transforma ecuaciones diferenciales en algebraicas. 

Pares de transformada de LAPLACE

                                                  2. Propiedades y teoremas

Propiedad de Linealidad

La transformada de Laplace tiene la propiedad de linealidad, es decir, en una ecuación con varias funciones, se puede calcular la transformada de Laplace de cada término y de cada una de las funciones por separado, cabe mencionar que las constantes salen de la transformada de Laplace.

•      Teorema de traslación

Transformada de Laplace para una función multiplicado por una exponencial. 

•  Segundo teorema de traslación:

·         Teorema de la transformada de la derivada

Tienen la finalidad de cancelar la derivada del orden que sea con tan solo multiplicar la variable s elevada al orden de la derivada por la función y le resta sus condiciones iniciales.

·         Derivada de una transformada:

·         Teorema de la convolución:

·       Teorema de la transformada de la Integral

Sirve para calcular la transformada de Laplace en una integral, se multiplica por 1 entre s por la transformada de la función. 

Tabla de transformada de la place de algunas funciones básicas 

·    La transformada inversa

Consiste, en pasar la solución que se encuentra en el dominio de la frecuencia al dominio del tiempo como originalmente se quería. Ahora, por definición se dice que la transformada inversa de Laplace de F(s) se expresa como lo muestra la ecuación.

Inversión de la Transformada de Laplace

La transformada inversa de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas de inicial valor. La estrategia de esto es transformar las ecuaciones diferenciales donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.

Fracciones Parciales

Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.

Método de Fracciones Parciales para obtener la transformada inversa de Laplace

Este método consiste en expresar una función F(s) de la forma P(s)/Q(s) (función racional), donde P(s) y Q(s) son polinomios en s, y donde el grado de P(s) es menor que el grado de Q(s). Procederemos buscando descomponer la función F(s) en términos mas simples.

Ejemplo:

Aplicaciones de la Transformada de Laplace en la industria

Esta aplicación se encuentra en la industria de la ingeniería química, tienen especial importancia porque son necesarios para obtener las funciones de transferencia de los distintos lazos de control y estas funciones de transferencia se expresa en el dominio de la place.

La industria electrónica se utiliza la transformada de la place para resolver fácilmente una ecuación diferencial, en la electrónica es fundamental debido a que todos los elementos se utilizan se utilizan en la electricidad responden conforme a este tipo de ecuaciones.

En la industria vehicular, para ser específicos en las suspensiones que se les colocan a los carros, para que se puedan transportar de un lugar a otro de manera segura.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 

Planteamiento del problema

En esta figura se observa un automóvil, construido por la industria automovilística de la transformada de LAPLACE, calcular el modelo matemático de una suspensión del automóvil.

1)      1) Objeto

Determinar el modelo matemático de una suspensión del automóvil.

2)      2) Esquema

3) Cálculos

4) Conclusión

Notamos que al aplicar la transformada de LAPLACE a cada termino, el modelo matemático nos dará:

Teniendo en cuenta que los términos se deben que igualar a cero.

Conclusiones 

Después de analizar la investigación, podemos decir que el método de la transformada de LAPLACE, es un método operacional que puede ser utilizado en distintas áreas industriales para resolver ecuaciones diferenciales y lineales.

La linealidad es una propiedad muy útil para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, a la vez permitirá el cálculo de la transformada de algunas funciones, también el método numérico es utilizado en algunas industrias, como en este caso tomamos de ejemplo la creadora de suspensiones vehiculares.

Bibliografía

Ogata, K. (2003). Ingeniería de control moderna. Pearson Educación.

https://prezi.com/view/aRbSRbQQj8MMrVzlB8o4/

https://temasdecalculo2.wordpress.com/2019/09/10/metodo-de-fracciones-parciales-para-obtener-la-transformada-inversa-de-laplace-utilizando-limites-laplace/

 Video explicativo